Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，S_n=

Sn-1

2Sn-1+1

（n≥2），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：计算题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：由S_n=

Sn-1

2Sn-1+1

（n≥2），取倒数，可得{

1

Sn

}是以1为首项，2为公差的等差数列，求出S_n=

1

2n-1

（n=1也满足），再利用n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出结论．

解答： 解：∵S_n=

Sn-1

2Sn-1+1

（n≥2），
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
∵a₁=1，
∴{

1

Sn

}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴

1

Sn

=2n-1，
∴S_n=

1

2n-1

（n=1也满足），
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

-2

(2n-1)(2n-3)

，
n=1时，不符合，
∴a_n=

1，n=1 -2 (2n-1)(2n-3) ，n≥2

．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生的计算能力，由S_n=

Sn-1

2Sn-1+1

（n≥2），取倒数，可得{

1

Sn

}是以1为首项，2为公差的等差数列是关键．