Question

已知函数f（x）=2e^x-2x，g（x）=x²+m（m∈R）．
（Ⅰ）试讨论函数y=f（x）的单调性；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-g（x），x∈[0，3]，当函数y=h（x）有零点时，求实数m的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）试讨论函数y=f（x）的单调性；有两种方法，一是利用定义，二是求导；
（2）求最大值的问题，转化为在[0，3]上函数h（x）为增函数，再转化为求h'（x）在该区间上恒大于0，问题得以解决．

解答： 解：∵f（x）=2e^x-2x，
∴f'（x）=2e^x-2，
令f'（x）=2e^x-2=0，得x=0．
当f'（x）≥0时，解得x≥0；当f'（x）＜0时，解得x＜0，
故函数y=f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，函数y=f（x）在区间（-∞，0）上单调递减．
（Ⅱ）∵f（x）=2e^x-2x，g（x）=x²+m
∴h（x）=2e^x-2x-x²-m，
∴h'（x）=2e^x-2-2x
令g（x）=2e^x-2-2x，
∴g'（x）=2（e^x-1）
当x∈[0，3]，g'（x）=2（e^x-1）＞0，
∴g（x）在x∈[0，3]上为增函数，
对于任意x∈[0，3]，有g（x）＞g（0），
即h'（x）=2e^x-2-2x＞h'（0）=0，
∴h（x）在x∈[0，3]上是增函数，h（x）的最大值h（3）=2e³-15-m，
故函数y=h（x）有零点时，实数m的最大值是2e³-15．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，把要求的问题转化为导数的问题，然后加以解决，注意的知识的迁移．