Question

1．已知函数f（x）=x³-3x²-m，g（x）=3e^x-6（1-m）x-3（m∈R，e为自然对数底数）．
（1）试讨论函数f（x）的零点的个数；
（2）证明：当m＞0，且x＞0时，总有g（x）＞f'（x）．

Answer 1

分析 （1）问题转化为方程x³-3x²=m的根，令h（x）=x³-3x²，根据函数的单调性求出h（x）的极值，通过讨论m的范围判断函数的零点个数即可；
（2）设h（x）=g（x）-f′（x）=3e^x-3x²+6mx-3，（x＞0），求出函数的导数，根据函数的单调性求出h（x）＞h（0），从而证明结论．

解答 （1）解：函数f（x）的零点即方程x³-3x²=m的根，
令h（x）=x³-3x²，则h′（x）=3x（x-2），
令h′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，
令h′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
故h（x）在（-∞，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
而h（0）=0，h（2）=-4，
故m＞0或m＜-4时，函数1个零点，
m=0或m=-4时，函数2个零点，
-4＜m＜0时，函数3个零点；
（2）证明：f′（x）=3x²-6x，
设h（x）=g（x）-f′（x）=3e^x-3x²+6mx-3，（x＞0），
则h′（x）=3（e^x-2x+2m），
令m（x）=e^x-2x+2m，则m′（x）=e^x-2，
令m′（x）＞0，解得：x＞ln2，
令m′（x）＜0，解得：x＜ln2，
故m（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，
故m（x）≥m（ln2）=2（m-ln2+1），
由m＞0，解得：m＞ln2-1，
故m（ln2）＞0，m（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）递增，
故x＞0时，h（x）＞h（0）=0，
故m＞0且x＞0时，g（x）＞f'（x）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．