Question

6．已知函数f（x）=|2x-a|+a，函数g（x）=|2x-1|．
（1）若当g（x）≤5时，恒有f（x）≤6，求实数a的最大值；
（2）若当x∈R时，f（x）+g（x）≥3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据|2x-a|+a≤6，得a-6≤2x-a≤6-a，解出x的范围，求出a的范围即可；
（2）f（x）+g（x）≥3等价于|1-a|+a≥3，通过讨论a的范围，确定a的范围即可．

解答 解：（1）由g（x）≤5⇒|2x-1|≤5，得-2≤x≤3，
又f（x）≤6⇒|2x-a|+a≤6，
得a-6≤2x-a≤6-a，
故a-3≤x≤3，a-3≤-2，则a≤1；
故a的最大值是1；
（2）当x∈R时，
f（x）+g（x）
=|2x-a|+a|+|1-2x|
≥|2x-a+1-2x|+a
=|1-a|+a，
当x=$\frac{1}{2}$时“=”成立，
故x∈R时，f（x）+g（x）≥3等价于|1-a|+a≥3①，
a≤1时，①等价于1-a+a≥3，无解，
a＞1时，①等价于a-1+a≥3，解得：a≥2，
故a的范围是[2，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查绝对值的意义，是一道中档题．