Question

20．若a，b∈R，ab＞0，则$\frac{{a}^{4}+4{b}^{4}+1}{ab}$的最小值为4．

Answer 1

分析 【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．
【方法二】将$\frac{1}{ab}$拆成$\frac{1}{2ab}$+$\frac{1}{2ab}$，利用柯西不等式求出最小值．

解答 解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，
∴$\frac{{a}^{4}+4{b}^{4}+1}{ab}$≥$\frac{2\sqrt{{a}^{4}•{4b}^{4}}+1}{ab}$
=$\frac{{{4a}^{2}b}^{2}+1}{ab}$
=4ab+$\frac{1}{ab}$≥2$\sqrt{4ab•\frac{1}{ab}}$=4，
当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{4}={4b}^{4}}\\{4ab=\frac{1}{ab}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}={2b}^{2}}\\{{{a}^{2}b}^{2}=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
即a=$\frac{1}{\root{4}{2}}$，b=$\frac{1}{\root{4}{8}}$或a=-$\frac{1}{\root{4}{2}}$，b=-$\frac{1}{\root{4}{8}}$时取“=”；
∴上式的最小值为4．
【解法二】a，b∈R，ab＞0，
∴$\frac{{a}^{4}+4{b}^{4}+1}{ab}$=$\frac{{a}^{3}}{b}$+$\frac{{4b}^{3}}{a}$+$\frac{1}{2ab}$+$\frac{1}{2ab}$≥4$\root{4}{\frac{{a}^{3}}{b}•\frac{{4b}^{3}}{a}•\frac{1}{2ab}•\frac{1}{2ab}}$=4，
当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{4}={4b}^{4}}\\{4ab=\frac{1}{ab}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}={2b}^{2}}\\{{{a}^{2}b}^{2}=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
即a=$\frac{1}{\root{4}{2}}$，b=$\frac{1}{\root{4}{8}}$或a=-$\frac{1}{\root{4}{2}}$，b=-$\frac{1}{\root{4}{8}}$时取“=”；
∴上式的最小值为4．
故答案为：4．

点评 本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．