Question

8．设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤k（k≥0），则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“k度和谐函数”，[a，b]称为“k度密切区间”．设函数f（x）=lnx与$g（x）=\frac{mx-1}{x}$在[$\frac{1}{e}$，e]上是“e度和谐函数”，则m的取值范围是-1≤m≤1+e．

Answer 1

分析 由“e度和谐函数”，得到对任意的x∈[$\frac{1}{e}$，e]，都有|f（x）-g（x）|≤e，化简整理得m-e≤lnx+$\frac{1}{x}$≤m+e，令h（x）=lnx+$\frac{1}{x}$（$\frac{1}{e}$≤x≤e），求出h（x）的最值，只要m-e不大于最小值，且m+e不小于最大值即可．

解答 解：∵函数f（x）=lnx与g（x）=$\frac{mx-1}{x}$在[$\frac{1}{e}$，e]上是“e度和谐函数”，
∴对任意的x∈[$\frac{1}{e}$，e]，都有|f（x）-g（x）|≤e，
即有|lnx+$\frac{1}{x}$-m|≤e，即m-e≤lnx+$\frac{1}{x}$≤m+e，
令h（x）=lnx+$\frac{1}{x}$（$\frac{1}{e}$≤x≤e），h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
x＞1时，h′（x）＞0，x＜1时，h′（x）＜0，
x=1时，h（x）取极小值1，也为最小值，
故h（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最小值是1，最大值是e-1．
∴m-e≤1且m+e≥e-1，
∴-1≤m≤e+1．
故答案为：-1≤m≤1+e

点评 本题考查新定义及运用，考查不等式的恒成立问题，转化为求函数的最值，注意运用导数求解，是一道中档题．