Question

7．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{k}$=1的两个焦点F₁、F₂，其一条渐近线方程y=x，若P（m，1）在双曲线上，求$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 利用双曲线的渐近线方程求出k，得到双曲线方程，然后求解P的坐标，求出焦点坐标，然后求解向量的数量积．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{k}$=1的两个焦点F₁、F₂，其一条渐近线方程y=x，
可得k=2，若P（m，1）在双曲线上，可知：m²-1=2，m=$±\sqrt{3}$，
由双曲线的对称性，不妨取P（$\sqrt{3}$，1），
双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的两个焦点F₁（-2，0），F₂（2，0），
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-2-$\sqrt{3}$，-1）（2-$\sqrt{3}$，-1）=-（4-3）+1=0．
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$的值为0．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，向量的数量积，考查计算能力．