Question

8．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为ρcosθ=4．
（1）M为曲线C₁上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C₂的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为（2，$\frac{π}{3}$），点B在曲线C₂上，求△OAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），利用相似得出M点坐标，根据|OM|•|OP|=16列方程化简即可；
（2）求出曲线C₂的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出最大面积．

解答 解：（1）曲线C₁的直角坐标方程为：x=4，
设P（x，y），M（4，y₀），则$\frac{x}{4}=\frac{y}{{y}_{0}}$，∴y₀=$\frac{4y}{x}$，
∵|OM||OP|=16，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$$\sqrt{16+{{y}_{0}}^{2}}$=16，
即（x²+y²）（1+$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}$）=16，
∴x⁴+2x²y²+y⁴=16x²，即（x²+y²）²=16x²，
两边开方得：x²+y²=4x，
整理得：（x-2）²+y²=4（x≠0），
∴点P的轨迹C₂的直角坐标方程：（x-2）²+y²=4（x≠0）．
（2）点A的直角坐标为A（1，$\sqrt{3}$），显然点A在曲线C₂上，|OA|=2，
∴曲线C₂的圆心（2，0）到弦OA的距离d=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
∴△AOB的最大面积S=$\frac{1}{2}$|OA|•（2+$\sqrt{3}$）=2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题．