Question

18．已知函数f（x）的图象经过点（1，λ），且对任意x∈R，都有f（x+1）=f（x）+2．数列{a_n}满足a₁=λ-2，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2^n}，n为奇数\\ f（{a_n}），n为偶数\end{array}$．
（Ⅰ）当x为正整数时，求f（n）的表达式；
（Ⅱ）设λ=3，求a_n
（Ⅲ）若对任意n∈N^*，总有a_na_n+1＜a_n+1a_n+2，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）b_n=f（n），由f（x+1）=f（x）+2，可得数列{b_n} 是首项为$\lambda$，公差为2的等差数列，求其通项公式可得f（n）的表达式；
（Ⅱ）设λ=3，由已知a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2^n}，n为奇数\\ f（{a_n}），n为偶数\end{array}$分类求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）分n=1、n为奇数、偶数由a_n+1a_n+2-a_na_n+1＞0得到关于λ的不等式求解．

解答 解：（Ⅰ）记b_n=f（n），由f（x+1）=f（x）+2，有b_n+1-b_n=2 对任意n∈N^* 都成立，
又${b_1}=f（1）=\lambda$，∴数列{b_n} 是首项为$\lambda$，公差为2的等差数列，
故b_n=2n+λ-2，即f（n）=2n+λ-2；
（Ⅱ）由题设λ=3．
若n 为偶数，则${a_n}={2^{n-1}}$；
若n 为奇数且n≥3，则${a_n}=f（{a_{n-1}}）=2{a_{n-1}}+λ-2=2•{2^{n-2}}+λ-2={2^{n-1}}+λ-2$=2^n-1+1，
又a₁=λ-2=1，即${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{2}^{n-1}+1，n为奇数且n≥3}\\{{2}^{n-1}，n为偶数}\end{array}\right.$；
（Ⅲ）当n=1时，a₂a₃-a₁a₂=2[4+λ-2-（λ-2）]=8＞0．
当n 为奇数且n≥3 时，${a_{n+1}}{a_{n+2}}-{a_n}{a_{n+1}}={a_{n+1}}（{a_{n+2}}-{a_n}）={2^n}[{2^{n+1}}+λ-2-（{2^{n-1}}+λ-2）]$=3•2^2n-1＞0；
当n 为偶数时，${a_{n+1}}{a_{n+2}}-{a_n}{a_{n+1}}={a_{n+1}}（{a_{n+2}}-{a_n}）=（{2^n}+λ-2）（{2^{n+1}}-{2^{n-1}}）]$=3•2^n-1（2ⁿ+λ-2）．
∵a_na_n+1＜a_n+1a_n+2，∴2ⁿ+λ-2＞0，
∵n为偶数，∴n≥2，
∵2ⁿ+λ-2 单调递增，∴4+λ-2＞0，即λ＞-2．
故$\lambda$ 的取值范围为（-2，+∞）．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，训练了分段函数的应用，训练了利用分离参数法求解恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想方法，属中档题．