Question

若函数f（x）=

2x，x≤ 1 2 2-2x，x＞ 1 2

，则函数g（x）=f（f（x））在[0，1]上的图象总长为

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：由已知中函数f（x）=

2x，x≤ 1 2 2-2x，x＞ 1 2

，分段讨论，求出函数g（x）=f（f（x））在[0，1]上各段的解析式，画出函数的图象，进而可得答案．

解答： 解：∵函数f（x）=

2x，x≤ 1 2 2-2x，x＞ 1 2

，
当x∈[0，

1

4

]时，f（x）∈[0，

1

2

]，g（x）=f（f（x））=2×2x=4x，
当x∈（

1

4

，

1

2

]时，f（x）∈（

1

2

，1]，g（x）=f（f（x））=2-2×2x=2-4x，
当x∈（

1

2

，

3

4

）时，f（x）∈（

1

2

，1），g（x）=f（f（x））=2-2×（2-2x）=4x-2，
当x∈[

3

4

，1]时，f（x）∈[0，

1

2

]，g（x）=f（f（x））=2×（2-2x）=4-4x，
故函数g（x）=f（f（x））在[0，1]上的图象如图所示：

其长度为：4

12+( 1 4 )2

=

17

，
故答案为：

17

．

点评：本题考查的知识点是分段函数的应用，分段函数分段处理，是解答分段函数的基本思路，也是分类讨论思想最好的印证．