Question

若不等式x²-2mx+2m+1＞0对0≤x≤1的所有实数x都成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：首先对提议进行转换，考虑二次函数的对称轴和已知区间之间的关系进行分类讨论，最后求出参数的取值范围．

解答： 解：设函数f（x）=x²-2mx+2m+1
所以函数是开口方向向上，对称轴为x=m的抛物线．
由于f（x）=x²-2mx+2m+1在0≤x≤1的所有实数x对f（x）＞0都成立，
所以①当m＜0时，只需f（0）＞0成立即可．
即：2m+1＞0
解得：m＞-

1

2

所以：-

1

2

＜m＜0
②当0≤m≤1时，只需满足f（m）＞0即可．
即：m²-2m²+2m+1＞0
解得：1-

2

≤m≤1+

2

所以：0≤m≤1
③当m＞1时，只需满足f（1）＞0即可．
即：2＞0恒成立
所以：m＞1
综上所述：m的取值范围为：m＞-

1

2

点评：本题考查的知识要点：一元二次不等式和二次函数之间的关系，分类讨论问题在题中的应用，属于基础题型．