Question

已知f（x）=log₄（2x+3-x²）．
（1）求f（x）定义域
（2）求函数f（x）单调递增区间；
（3）若f（x）=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系,函数的定义域及其求法,复合函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意得2x+3-x²＞0，从而求定义域；
（2）令u=2x+3-x²，则y=log₄u；从而由复合函数的单调性判断；
（3）由f（x）=m有两个不同的实数根及函数f（x）的单调区间求m的取值范围．

解答： 解：（1）∵2x+3-x²＞0，
∴-1＜x＜3；
故f（x）的定义域为（-1，3）；
（2）令u=2x+3-x²，则y=log₄u；
∵y=log₄u是增函数，
∴f（x）=log₄（2x+3-x²）的单调递增区间是（-1，1）；
（3）∵f（x）=m有两个不同的实数根，
又∵f（x）=log₄（2x+3-x²）的单调递增区间是[-1，1]，单调递减区间是[1，3]；
∴f（x）_min=f（1）=1；
∴m的取值范围是{m|m＜1}．

点评：本题考查了导数的综合应用及复合函数的单调性的应用，属于基础题．