Question

已知圆C的半径为3，圆心C在x轴下方且直线y=x上，x轴被圆C截得的弦长为2

5

．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在斜率为1的直线l，使得以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）根据条件设圆心坐标为（a，a），a＜0，利用待定系数法，建立条件即可得圆C的方程．
（Ⅱ）设直线方程y=x+b，以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，联立直线方程与圆的方程，可得由方程的根与系数的关系代入x₁x₂+y₁y₂=0，可求b，从而可求直线方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵圆心C在x轴下方且直线y=x，
∴设圆心坐标为（a，a），a＜0，
则圆心到x轴的距离d=|a|=-a，
则∵x轴被圆C截得的弦长为2

5

，
∴满足d²+（

5

）²=3²，
即a²+5=9，
则a²=4，解得a=-2，则圆心坐标为（-2，-2），
则圆C的方程为（x+2）²+（y+2）²=9；
（Ⅱ）设l的方程y=x+b，以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
x₁x₂+y₁y₂=0      ①
将直线方程y=x+b代入圆的方程（x+2）²+（y+2）²=9，
得2x²+（2b+8）x+（b²+4b-1）=0，
要使方程有两个相异实根，则
△=（8+2b）²-4×2（b²+4b-1）＞0，
则x₁+x₂=-b-4，x₁x₂=

1

2

（b²+4b-1），
y₁=x₁+b，y₂=x₂+b，代入x₁x₂+y₁y₂=0，得2x₁x₂+（x₁+x₂）b+b²=0
即有b²+4b-1+b（-b-4）+b²=0，
即b²=1，即b=1或b=-1，
当b=1时，△=（8+2b）²-4×2（b²+4b-1）=68＞0，满足条件，
当b=-1时，△=（8+2b）²-4×2（b²+4b-1）=68＞0，满足条件，
故存在直线l满足条件，且方程为y=x-1或y=x+1．

点评：本题主要考查了直线与圆相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于基本知识的综合应用．