Question

10．已知函数f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）先利用两角和差的正弦公式化简，以及根据正弦函数的性质即可求出单调区间；
（2）先判断[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]的单调性，再代值计算即可．

解答 解：（1）f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2（$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
∴函数的递增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z，
（2）由（1）可知，函数f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{12}$]上单调递增，在（$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上单调递减，
∴f（x）_max=f（$\frac{5π}{12}$）=2，f（x）_min=f（$\frac{π}{6}$）=0，
∴f（x）的值域的值域为[0，2]

点评 本题主要考查正弦函数的两角和公式的运用以及正弦函数的性质，属于中档题．