Question

18．已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（1-x）=f（1+x），当-2＜x≤-1时，f（x）=-log${\;}_{\frac{1}{2}}}$（2+x），则函数y=2f（x）-1在（0，8）内的所有零点之和为12．

Answer 1

分析 求出f（x）的对称轴和周期，做出f（x）的函数图象，根据函数的对称性得出答案．

解答 解：∵f（x）是奇函数，f（1-x）=f（1+x），
∴f（x+1）=f（1-x）=-f（x-1），
f（x+3）=f（-1-x）=-f（x+1），
∴f（x-1）=f（x+3），
∴f（x）的周期为4，
又f（1-x）=f（1+x），f（x）是奇函数，
∴f（x）关于直线x=1对称，f（x）根与原点对称，
做出f（x）的函数图象如图所示：

令y=2f（x）-1=0得f（x）=$\frac{1}{2}$，
由图象可知f（x）=$\frac{1}{2}$共有4个解，分别关于x=1和x=5对称，
设4个解分别为x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁+x₂=2，x₃+x₄=10，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=12．
故答案为12．

点评 本题考查了函数周期性和对称性的应用，属于中档题．