Question

15．已知$\underset{lim}{n→∞}$（5n-$\sqrt{an^2-bn+c}$=2，求a，b的值．

Answer 1

分析 由将等式两边同除以n，即可得到$\underset{lim}{n→∞}$（5-$\sqrt{\frac{a{n}^{2}-bn+c}{{n}^{2}}}$）=0，由极限的运算求得a的值，将a代入，分子有理化，分子分母同除以n，即可求得b的值．

解答 解：$\underset{lim}{n→∞}$（5n-$\sqrt{an^2-bn+c}$）=2，
$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{5n-\sqrt{a{n}^{2}-bn+c}}{n}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2}{n}$=0，
∴$\underset{lim}{n→∞}$（5-$\sqrt{\frac{a{n}^{2}-bn+c}{{n}^{2}}}$）=0，
∴$\underset{lim}{n→∞}$（5-$\sqrt{a}$）=0，
∴a=25，
$\underset{lim}{n→∞}$（5n-$\sqrt{an^2-bn+c}$）=$\frac{25{n}^{2}-（25{n}^{2}+bn+c）}{5n+\sqrt{25{n}^{2}+bn+c}}$，
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{-bn-c}{5n+\sqrt{25{n}^{2}+bn+c}}$，
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{-b-\frac{c}{n}}{5+\sqrt{25+\frac{b}{n}+\frac{c}{{n}^{2}}}}$，
=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{-b}{10}$=2，
∴b=-20
故a=25，b=-20．

点评 本题考查极限的运算，考查常见求极限运算的方法，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．