Question

10．如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC．
（Ⅰ）在四面体各表面所成的二面角中，指出所有的直二面角，并说明理由；
（Ⅱ）若PA=AB=1，AC=2，求四面体各表面所成角的二面角中，最小角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由PA⊥平面ABC，得到二面角P-AC-B，P-AB-C都是直二面角，再推导出BC⊥平面PAB，得到A-PB-C是直二面角．
（Ⅱ）以A为顶点，AC，AP所在直线为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出四面体各表面所成角的二面角中，最小角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）∵PA⊥PA⊥平面ABC，
∴二面角P-AC-B，P-AB-C都是直二面角，
由PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，
∴A-PB-C是直二面角．
（Ⅱ）由BC⊥平面PAB，得二面角P-BC-A的平面角为∠PBA=45°，
由PA⊥平面ABC得二面角B-PA-C的平面角为∠BAC=60°，
以A为顶点，AC，AP所在直线为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，1），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），C（0，2，0），
$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，-1），$\overrightarrow{PC}$=（0，2，-1），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2y-z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，2$），
平面PAC的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$$＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴四面体各表面所成角的二面角中，最小角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查直二面角的判断，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．