Question

5．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA丄平面ABCD，PA=AB=2，AD=4，E为线PD上一动点（不含端点）．记$\frac{PE}{PD}$=λ．
（1）当λ=$\frac{1}{2}$时，求异面直线PB与EC所成角的余弦值．
（2）当平面PAB与平面ACE所成二面角的余弦值为$\frac{1}{3}$时，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PB与EC所成角的余弦值．
（2）求出平面PAB的一个法向量和平面AEC的法向量，利用向量法能求出λ的值．

解答 解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，4，0），P（0，0，2），C（2，4，0），
∵$\frac{PE}{PD}$=λ，∴设E（0，a，b），则$\overrightarrow{PE}$=（0，a，b-2），
$\overrightarrow{PD}$=（0，4，-2），$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PD}$，即（0，a，b-2）=λ（0，4，-2），
解得a=4λ，b=2-2λ，∴E（0，4λ，2-2λ），
当$λ=\frac{1}{2}$时，E（0，2，1），$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{EC}$=（2，2，-1），
cos＜$\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{EC}$＞=$\frac{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{EC}}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{EC}|}$=$\frac{6}{2\sqrt{2}×3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴异面直线PB与EC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），$\overrightarrow{AB}$=（2，0，0），$\overrightarrow{AC}$=（2，4，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，4λ，2-2λ），
由题意知$\overrightarrow{AD}$=（0，4，0）是平面PAB的一个法向量，
充平面AEC的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=4λy+（2-2λ）z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2x+4y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得平面AEC的法向量$\overrightarrow{m}$=（2，-1，$\frac{2λ}{1-λ}$），
∵平面PAB与平面ACE所成二面角的余弦值为$\frac{1}{3}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5+（\frac{2λ}{1-λ}）^{2}}}$=$\frac{1}{3}$，
解得$λ=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．