题目内容
以（0，m）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以（0，m2）间的整数（m＞1），m∈N）为分子，以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为a2；…，依此类推以（0，mn）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以mn为分母组成不属于A1，A2，…，An-1的分数集合An，其所有元素和为an；则a1+a2+…+an= ．
考点：数列的应用,元素与集合关系的判断,进行简单的合情推理
专题：综合题,等差数列与等比数列
分析：由题意，可根据所给的规则进行归纳，探究出规律，再利用数列的有关知识化简即可得出结论
解答：
解：由题意a1=
+
+…+
a2=
+
+…+
+
+…+
+
+…+
=
+
+…+
-（
+
+…+
）=
+
+…+
-a1，
a3=
+
+…+
-a2-a1，
…
an=
+
+…+
-an-1-…-a2-a1，
由上推理可得a1+a2+…+an=
+
+…+
=
[1+2+3+…+(mn-1)]
由等差数列的求和公式得a1+a2+…+an=
=
故答案为
| 1 |
| m |
| 2 |
| m |
| m-1 |
| m |
a2=
| 1 |
| m2 |
| 2 |
| m2 |
| m-1 |
| m2 |
| m+1 |
| m2 |
| 2m-1 |
| m2 |
| 2m+1 |
| m2 |
| m2-1 |
| m2 |
| 1 |
| m2 |
| 2 |
| m2 |
| m2-1 |
| m2 |
| 1 |
| m |
| 2 |
| m |
| m-1 |
| m |
| 1 |
| m2 |
| 2 |
| m2 |
| m2-1 |
| m2 |
a3=
| 1 |
| m3 |
| 2 |
| m3 |
| m3-1 |
| m3 |
…
an=
| 1 |
| mn |
| 2 |
| mn |
| mn-1 |
| mn |
由上推理可得a1+a2+…+an=
| 1 |
| mn |
| 2 |
| mn |
| mn-1 |
| mn |
| 1 |
| mn |
由等差数列的求和公式得a1+a2+…+an=
| 1 |
| mn |
| [1+(mn-1)]×(mn-1) |
| 2 |
| mn-1 |
| 2 |
故答案为
| mn-1 |
| 2 |
点评：本题考查了等差数列的求和公式，归纳推理，元素与集合关系，考查了探究意识与创新解答问题的能力，本题难度较高，不易入手，惟有耐心细致的列举几个特殊例子才能发现解答本题的规律，此类探究型题可以培养出创新思维的能力
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| A、log35-log315=-1 |
| B、logac•logca=1 |
| C、log42+log48=2 |
| D、（log43+log83）（log32+log92）=-1 |