Question

13．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=3•2^x-2^-x．
（1）求函数f（x）在R上的解析式；
（2）若f（mx²+1）+f（3x-2x²）≥0对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意已知当x＞0时f（x）=3•2^x-2^-x，讨论当x＜0时和当x=0时的解析式即可f（x）在R上的解析式．
（2）f（x）为定义在R上的奇函数，等价于f（mx²+1）≥f（-3x+2x²）对x∈R恒成立，根据f（x）的单调性，转化成不等式求解实数m的取值范围．

解答 解：（1）由题意：f（x）为定义在R上的奇函数，
当x＞0时，f（x）=3•2^x-2^-x，
那么：当x＜0时，则-x＞0，
则有：f（-x）=3•2^-x-2^x=-f（x），
∴f（x）=2^x-3•2^-x
当x=0时，f（x）=0
所以函数f（x）在R上的解析式：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3•{2}^{x}-{2}^{-x}，（x＞0）}\\{2，（x=0）}\\{{2}^{x}-3•{2}^{-x}，（x＜0）}\end{array}\right.$
（2）由题意，当x＞0时，f（x）=3•2^x-2^-x，可知f（x）在（0，+∞）是单调增函数．
根据奇函数在对称区间上的单调性相同，可知f（x）在（-∞，0）也是单调增函数．
∴f（x）为定义在R上是增函数．
f（mx²+1）+f（3x-2x²）≥0对x∈R恒成立，等价于f（mx²+1）≥f（-3x+2x²）对x∈R恒成立．
即：mx²+1≥-3x+2x²对x∈R恒成立．
化简：（m-2）x²+3x+1≥0，对x∈R恒成立，则有：$\left\{\begin{array}{l}{m-2＞0}\\{△{=b}^{2}-4ac≤0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{m＞2}\\{9-4（m-2）≤0}\end{array}\right.$，解得：m$≥\frac{17}{4}$．
故实数m的取值范围为[$\frac{17}{4}$，+∞）．

点评 本题考查了分段函数解析式的求法和单调性的运用解恒成立的问题．属于中档题．