Question

已知cosβ=

1

3

，sin（α+β）=

7

9

，α∈（0，

π

2

），β∈（

π

2

，π）．
（Ⅰ）求cos2β的值；
（Ⅱ）求sinα的值．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由二倍角的余弦公式，cos2β=2cos²β-1，根据已知即可求值．
（Ⅱ）sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ，只要求出sinβ，cos（α+β）的值，根据已知代入即可求出其值．

解答： 解：（Ⅰ）由条件：cosβ=

1

3

，β∈（

π

2

，π）得cos2β=2cos²β-1=-

7

9

；
（Ⅱ）因为cosβ=

1

3

，β∈（

π

2

，π），所以sinβ=

2 2

3

，
因为，α∈（0，

π

2

），β∈（

π

2

，π），所以α+β∉（

π

2

，

3π

2

），
又sin（α+β）=

7

9

，所以cos（α+β）=-

4 2

9

，
所以sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=

1

3

．

点评：本题主要考察了二倍角的余弦公式、两角和与差的正弦公式等的综合运用，属于中档题．