Question

已知函数f（x）=

x +1

x -1

，
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数的定义域及其求法,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数f（x）的解析式，分母不为0，且被开方数大于或等于0，求出x的取值范围；
（2）由复合函数的单调性判断f（x）在定义域上的单调性；
（3）根据f（x）的单调性，求出f（x）在定义域上的取值范围，即得值域．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

x +1

x -1

，
∴

x

-1≠0，
∴x≥0且x≠1；
∴f（x）的定义域[0，1）∪（1，+∞）；
（2）∵f（x）=

x +1

x -1

=1+

2

x -1

，
且y=

x

是定义域上的增函数，
∴y=

2

x -1

在[0，1）和（1，+∞）是的减函数，
∴f（x）=1+

2

x -1

在[0，1）和（1，+∞）上是减函数；
（3）∵f（x）=1+

2

x -1

在[0，1）和（1，+∞）上是减函数；
∴当x∈[0，1）时，f（x）∈（-∞，-1]；
当x∈（1，+∞）时，f（x）∈（1，+∞）；
∴f（x）的值域是（-∞，-1]∪（1，+∞）．

点评：本题考查了函数的性质以及应用的问题，解题时应根据函数的定义域求单调性，根据单调性求函数的值域，是基础题．