Question

20．已知函数f（x）=ax²+bx-lnx（a，b∈R）．
（Ⅰ）当a=8，b=-6，求f（x）的零点的个数；
（Ⅱ）设a＞0，且x=1是f（x）的极小值点，试比较lna与-2b的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的极小值小于0，从而判断出函数的零点个数；
（Ⅱ）求出b1-2a，作差lna-（-2b）=lna+2-4a，根据函数的单调性求出g（a）的最大值，从而判断出lna和-2b的大小即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a=8，b=-6，
${f^'}（x）=\frac{（2x-1）（8x+1）}{x}（x＞0）$
当$0＜x＜\frac{1}{2}$时，f′（x）＜0，
当$x＞\frac{1}{2}$时，f′（x）＞0，
故f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递减，在（$\frac{1}{2}$，+∞）递增，
故f（x）的极小值是f（$\frac{1}{2}$），
又∵$f（\frac{1}{2}）=-1+ln2＜0$，
∴f（x）有两个零点；
（Ⅱ） 依题有f′（1）=0，
∴2a+b=1即b=1-2a，
∴lna-（-2b）=lna+2-4a，
令g（a）=lna+2-4a，（a＞0）
则g′（a）=$\frac{1}{a}$-4=$\frac{1-4a}{a}$，
当0＜a＜$\frac{1}{4}$时，g′（a）＞0，g（a）单调递增；
当a＞$\frac{1}{4}$时，g′（a）＜0，g（a）单调递减．
因此g（a）＜g（$\frac{1}{4}$）=1-ln4＜0，
故lna＜-2b．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．