Question

12．与双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$共渐近线且过点$（2\sqrt{3}，-3）$的双曲线方程$\frac{y^2}{{\frac{9}{4}}}-\frac{x^2}{4}=1$．

Answer 1

分析 依题意，设双曲线的方程为9x²-16y²=λ，将点$（2\sqrt{3}，-3）$，代入可求λ，即可求出双曲线的方程．

解答 解：设与双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$有共同的渐近线的双曲线的方程为9x²-16y²=λ，
∵该双曲线经过点$（2\sqrt{3}，-3）$，
∴λ=9×12-16×9=-36．
∴所求的双曲线方程为：9x²-16y²=-36，即$\frac{y^2}{{\frac{9}{4}}}-\frac{x^2}{4}=1$
故答案为：$\frac{y^2}{{\frac{9}{4}}}-\frac{x^2}{4}=1$．

点评 本题考查双曲线的简单性质，设出所求双曲线的方程为9x²-16y²=λ是关键，属于中档题．