Question

已知数列{a_n}中，a₁=a，a为正实数，an+1=an-

1

an

(n∈N*)．
（1）若a₃＞0，求a的取值范围；
（2）求证：不存在a，使a_na_n+1＞0对任意n∈N^*恒成立．

Answer 1

考点：数列递推式,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由递推式结合a₁=a求得a₃，再由a＞0及a₃＞0联立不等式组求解a的取值范围；
（2）结合数列递推式把a_na_n+1＞0对任意n∈N^*恒成立转化为an4-3an2+1＞0恒成立．而此不等式所对应的
关于an2的二次方程的判别式大于0，从而说明不存在a，使a_na_n+1＞0对任意n∈N^*恒成立．

解答： （1）解：由a₁=a，an+1=an-

1

an

(n∈N*)，得
a2=a1-

1

a1

=a-

1

a

．
a3=a2-

1

a2

=a-

1

a

-

1

a- 1 a

=

a4-3a2+1

a(a2-1)

．
由

a＞0 a4-3a2+1 a(a2-1) ＞0

，解得：a＞

5

2

+

1

2

或

5

2

-

1

2

＜a＜1．
∴a的取值范围是a＞

5

2

+

1

2

或

5

2

-

1

2

＜a＜1；
（2）证明：∵an+1=an-

1

an

，
∴a_na_n+1=an(an-

1

an

)=an2-1．
要使a_na_n+1＞0，则an2-1＞0，即an2＞1．
∴an+12＞1．
而由递推式an+1=an-

1

an

得，
an2+

1

an2

-2=an+12＞1．
也就是an4-3an2+1＞0恒成立．
而△=（-3）²-4=5＞0．
∴an4-3an2+1＞0不恒成立．
即不存在a，使a_na_n+1＞0对任意n∈N^*恒成立．

点评：本题是数列与不等式的综合题，考查了数列递推式，考查了不等式的解法，训练了存在性问题的证明方法，是中高档题．