Question

15．已知|A-a|＜$\frac{?}{2}$，|B-b|＜$\frac{?}{2}$，求证：
（1）|（A+B）-（a+b）|＜ε；
（2）|（A-B）-（a-b）|＜ε．

Answer 1

分析 利用绝对值不等式的性质|x+y|≤|x|+|y|、|x|=|-x|、以及不等式的基本性质，证得要证的结论成立．

解答 证明：（1）∵|A-a|＜$\frac{?}{2}$，|B-b|＜$\frac{?}{2}$，∴|A-a|+|B-b|＜$\frac{?}{2}$+$\frac{ε}{2}$=ε．
∵|A-a|+|B-b|≥|（A-a）+（ B-b ）|=|（A+B）-（a+b）|，
∴|（A+B）-（a+b）|＜ε成立．
（2）∵|A-a|＜$\frac{?}{2}$，|B-b|＜$\frac{?}{2}$，∴|A-a|＜$\frac{?}{2}$，|b-B|＜$\frac{?}{2}$．
∵|A-a|+|B-b|＜$\frac{?}{2}$+$\frac{?}{2}$=ε，
而|A-a|+|B-b|≥|（A-a ）+（b-B）|=|（A-B）-（a-b）|，
∴|（A-B）-（a-b）|＜ε 成立．

点评 本题主要考查不等式的基本性质，绝对三角不等式的应用，属于中档题．