Question

20．各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且6S_n=（a_n+1）（a_n+2）．
（I）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若$\frac{10}{3}$（$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$$+\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$）≤a₁＜2，求n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得6S_n+1=（a_n+1+1）（a_n+1+2），两式相减可得，a_n+1-a_n=3，结合等差数列的通项公式可求；
（Ⅱ）由题意可以判断a₁=1，a_n=3n-2，再根据裂项求和，得到$\frac{10}{9}$×（1-$\frac{1}{3n-2}$）≤1，解得即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得6S₁=（a₁+1）（a₁+2），解得a₁=1或a₁=2，
由a_n+1=S_n+1-S_n=$\frac{1}{6}$（a_n+1+1）（a_n+1+2）-$\frac{1}{6}$（a_n+1）（a_n+2），
可得a_n+1-a_n-3=0或a_n+1+a_n=0，
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴a_n+1=-a_n不成立，故舍去．
∴a_n+1-a_n-3=0．
根据等差数列的定义可得：{a_n}是公差为3，首项为2的等差数列
或{a_n}是公差为3，首项为1的等差数列，
∴{a_n}的通项为a_n=3n-1，或a_n=3n-2，
（Ⅱ）由$\frac{10}{3}$（$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$$+\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$）≤a₁＜2，
∴a₁=1，a_n=3n-2，
∵$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=$\frac{1}{（3n-5）（3n-2）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-5}$-$\frac{1}{3n-2}$），
∴$\frac{10}{3}$（$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$$+\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$）=$\frac{10}{9}$（1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{10}$+…+$\frac{1}{3n-5}$-$\frac{1}{3n-2}$）
=$\frac{10}{9}$×（1-$\frac{1}{3n-2}$）≤1，
∴$\frac{1}{3n-2}$≥$\frac{1}{10}$，
即3n-2≤10，
解得n≤4，
故n的最大值为4．

点评 本题考查了数列的递推公式和数列的通项公式的求法，以及裂项求和，以及不等式的解法，属于中档题．