Question

3．如图，在四边形ABCD中，已知△ABC、△BCD、△ACD的面积之比是3：1：4，点E在边AD上，CE交BD于G，设$\frac{BG}{GD}=\frac{DE}{EA}=k$．
（1）求$\root{3}{{7{k^2}+20}}$的值；
（2）若点H分线段BE成$\frac{BH}{HE}=2$的两段，且AH²+BH²+DH²=p²，试用含p的代数式表示△ABD三边长的平方和．

Answer 1

分析 （1）不妨设△ABC、△BCD、△ACD的面积分别为3、1、4，由已知比例关系可得△ABD、△BDE、△CDG、△CDE、△DEG的面积．由此可得：$\frac{1}{k+1}$+$\frac{6k}{{{{（k+1）}^2}}}$=$\frac{4k}{k+1}$，由此可得k值，则$\root{3}{{7{k^2}+20}}$可求；
（2）由（1）知：E、G分别为AD、BD的中点，又∵点H分线段BE成$\frac{BH}{HE}=2$的两段，可得点H是△ABD的重心．延长BE到K，使得BE=EK，连结AK、DK后便得到平行四边形ABDK，再利用“平行四边形的四边平方和等于两对角线的平方和”可得：2（AB²+BD²）=AD²+4BE²，同理有$\left\{{\begin{array}{l}{2（B{D^2}+A{D^2}）=A{B^2}+4D{M^2}}\\{2（A{B^2}+A{D^2}）=B{D^2}+4A{G^2}}\end{array}}\right.$，得到3（AB²+BD²+AD²）=4（BE²+DM²+AG²）．进一步得到AB²+BD²+AD²=3p²．

解答 解：（1）不妨设△ABC、△BCD、△ACD的面积分别为3、1、4，
∵$\frac{BG}{GD}=\frac{DE}{EA}=k$，∴△ABD的面积是6，△BDE的面积是$\frac{6k}{k+1}$，△CDG的面积是$\frac{1}{k+1}$，△CDE的面积为$\frac{4k}{k+1}$，△DEG的面积是$\frac{6k}{{{{（k+1）}^2}}}$．
由此可得：$\frac{1}{k+1}$+$\frac{6k}{{{{（k+1）}^2}}}$=$\frac{4k}{k+1}$，即 4k²-3k-1=0，∴k=1，
∴$\root{3}{{7{k^2}+20}}$=3；
（2）由（1）知：E、G分别为AD、BD的中点，又∵点H分线段BE成$\frac{BH}{HE}=2$的两段，
∴点H是△ABD的重心．
而当延长BE到K，使得BE=EK，连结AK、DK后便得到平行四边形ABDK，
再利用“平行四边形的四边平方和等于两对角线的平方和”可得：2（AB²+BD²）=AD²+4BE²，
同理有$\left\{{\begin{array}{l}{2（B{D^2}+A{D^2}）=A{B^2}+4D{M^2}}\\{2（A{B^2}+A{D^2}）=B{D^2}+4A{G^2}}\end{array}}\right.$，其中点M为边AB的中点．
∴3（AB²+BD²+AD²）=4（BE²+DM²+AG²）．
∵$AH=\frac{2}{3}AG，BH=\frac{2}{3}BE，DH=\frac{2}{3}DM$，AH²+BH²+DH²=p²，
∴$B{E^2}+D{M^2}+A{G^2}=\frac{9}{4}{p^2}$，
∴AB²+BD²+AD²=3p²．

点评 本题考查平行线分线段成比例定理，考查推理论证能力与逻辑运算能力，难度较大．