Question

6．在三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=1，BC=$\sqrt{3}$，SB=2$\sqrt{2}$．
（1）求三棱锥S-ABC的体积；
（2）证明：BC⊥SC；
（3）求二面角C-SA-B的大小．

Answer 1

分析 （1）求三棱锥S-ABC的体积，由题设条件得，棱锥的高是SA，底面是直角三角形，体积易求；
（2）证明BC⊥SC，可通过证明BC⊥面ASC来证；
（3）由（1）可知∠BAC为二面角C-SA-B的平面角，利用三角函数，可求二面角C-SA-B的大小．

解答 解：（1）∵∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，
∴SA⊥面BAC，即SA即是棱锥的高，
又AC=1，BC=$\sqrt{3}$，SB=2$\sqrt{2}$，∠ACB=90°，
∴AB=2，SA=2$\sqrt{3}$，
∴三角形BAC的面积为$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
三棱锥S-ABC的体积为$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{3}$=1；
（2）证明：由（1）知SA⊥面BAC可得SA⊥BC，
由∠ACB=90°，可得BC⊥AC，
又SA∩AC=A，
∴BC⊥面SCA，
∴BC⊥SC；
（3）由（1）可知∠BAC为二面角C-SA-B的平面角，
∵AC=1，BC=$\sqrt{3}$，∠ACB=90°
∴tan∠BAC=$\sqrt{3}$，
∴∠BAC=60°，
∴二面角C-SA-B的平面角为60°．

点评 本题考查求三棱锥的体积，线面垂直的判断与性质，考查二面角C-SA-B的平面角，正确运用线面垂直的判定与性质是关键．