Question

9．已知函数f（x）=ax²+ln（x+b）．
（1）当a=0时，曲线y=f（x）与直线y=x+1相切，求b的值；
（2）当b=1时，函数y=f（x）图象上的点都在x-y≥0所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切点的坐标，代入切线方程，求b的值；
（2）根据已知，有x＞-1时，x-ax²-ln（x+1）≥0恒成立，即ax²-x+ln（x+1）≤0恒成立，设F（x）=ax²-x+ln（x+1）（x＞-1），则原命题等价于F（x）_max≤0恒成立．

解答 解：（1）当$a=0，f（x）=ln（{x+b}），{f^'}（x）=\frac{1}{x+b}$
令f′（x）=1∴x=1-b，于是切点坐标为（1-b，0）
将切点坐标（1-b，0）代入切线方程，有0=1-b+1∴b=2；
（2）根据已知，有x＞-1时，x-ax²-ln（x+1）≥0恒成立，
即ax²-x+ln（x+1）≤0恒成立，
设F（x）=ax²-x+ln（x+1）（x＞-1），则原命题等价于F（x）_max≤0恒成立.${F^'}（x）=2ax-1+\frac{1}{x+1}=\frac{{x[{2ax+（{2a-1}）}]}}{x+1}$
若a＜0，令F′（x）=0，有$x=0（{x=\frac{1-2a}{2a}=-1+\frac{1}{2a}＜-1舍去}）$，此时
当-1＜x＜0，F′（x）＞0，F（x）是增函数；
当x＞0，F′（x）＜0，F（x）是减函数
于是F（x）_max=F（0）=0，满足条件；
若$a=0，{F^'}（x）=\frac{-x}{1+x}$
当-1＜x＜0，F′（x）＞0，F（x）是增函数；当x＞0，F′（x）＜0，F（x）是减函数，
于是F（x）_max=F（0）=0，满足条件；
若a＞0，$F（{\frac{1}{a}}）=ln（{\frac{1}{a}+1}）＞ln1=0$，不满足条件．
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，0]．

点评 本题主考查利用导数求切线方程、函数的单调区间及函数的最值等有关知识，注意不等式成立的条件及分类讨论思想、转化及化归思想的运用，属综合性较强的题目，难题．