Question

5．今年我校高中部在全市初三学生中进行自主招生试点，通过面试招录35名优秀初三毕业生，第一轮面试共有从易到难的A、B、C、D四个问题，规则如下：
（1）每位参加者都必须按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束；
（2）每位参加者计分器的初始分数都是100分，答对问题A加10分，答对问题B加20分，答对问题C加30分，答对问题D加60分，答错任意一题减20分；
（3）每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于80分时，答题结束，直接淘汰出局；
（4）当累计分数大于或等于140分时，答题结束，直接进入下一轮；
（5）当答完四题，累计分数仍不足140分时，答题结束，淘汰出局．
现有某学生甲对问题A、B、C、D答对的概率分别为$\frac{3}{4}$、$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$、$\frac{1}{4}$，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
（Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率；
（Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望（均值）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设A、B、C、D分别表示第1、2、3、4个问题用M_i（i=1，2，3，4）表示甲同学第i个问题回答正确，记“甲同学进入下一轮”为事件K，由$P（K）=P（{M_1}{M_2}{M_3}+\overline{M_1}{M_2}{M_3}{M_4}+{M_1}\overline{M_2}{M_3}{M_4}+{M_1}{M_2}\overline{M_3}{M_4}+\overline{M_1}{M_2}\overline{M_3}{M_4}）$，能求出甲同学能进入下一轮的概率．
（Ⅱ）随机变量ξ的取值为ξ=2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和甲同学答题个数的数学期望．

解答 解：（Ⅰ）设A、B、C、D分别表示第1、2、3、4个问题
用M_i（i=1，2，3，4）表示甲同学第i个问题回答正确
用${\overline M_i}（i=1，2，3，4）$表示甲同学第i个问题回答错误
由题意得$P（{M_1}）=\frac{3}{4}$、$P（{M_2}）=\frac{1}{2}$、$P（{M_3}）=\frac{1}{3}$、$P（{M_4}）=\frac{1}{4}$，（2分）
记“甲同学进入下一轮”为事件K，
则$P（K）=P（{M_1}{M_2}{M_3}+\overline{M_1}{M_2}{M_3}{M_4}+{M_1}\overline{M_2}{M_3}{M_4}+{M_1}{M_2}\overline{M_3}{M_4}+\overline{M_1}{M_2}\overline{M_3}{M_4}）$
=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}+\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$，
∴甲同学能进入下一轮的概率为$\frac{1}{4}$．（6分）
（Ⅱ）随机变量ξ的取值为ξ=2，3，4，（7分）
ξ=2表示回答两道题都错，淘汰出局，$P（ξ=2）=\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$，（9分）
ξ=3表示回答三道题答题结束，包括M₁M₂M₃，${M_1}\overline{M_2}\overline{M_3}$，
∴$P（ξ=3）=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{3}{8}$，（11分）
$P（ξ=4）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）=\frac{1}{2}$，（12分）
则随机变量ξ的分布列为：

ξ	2	3	4
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{2}$

$E（ξ）=2×\frac{1}{8}+3×\frac{3}{8}+4×\frac{1}{2}=\frac{27}{8}$
即甲同学答题个数的数学期望为$\frac{27}{8}$．（14分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式的合理运用．