Question

16．如图，三角形ABC是边长为4的正三角形，PA⊥底面ABC，$PA=\sqrt{7}$，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥AC．
（1）证明：平面PDE⊥平面PAC；
（2）求三棱锥C-PDE的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出PA⊥DE，DE⊥AC，由此能证明DE⊥平面PAC，从而平面PDE⊥平面PAC．
（2）由V_C-PDE=V_P-DEC，能求出三棱锥C-PDE的体积．

解答 证明：（1）∵PA⊥底面ABC，DE?底面ABC，
∴PA⊥DE，
又DE⊥AC，PA∩AC=A，
∴DE⊥平面PAC．
又DE?平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAC．
解：（2）在Rt△DEC中，∠ECD=60°，CD=2，
则$DE=\sqrt{3}$，
∴${S_{△DEC}}=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴三棱锥C-PDE的体积${V_{C-PDE}}={V_{P-DEC}}=\frac{1}{3}{S_{△DEC}}|PA|=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\sqrt{7}=\frac{{\sqrt{21}}}{6}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．