Question

20．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，3c=8a．
（1）若cosC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，求sinA；
（2）若B=$\frac{π}{3}$，且△ABC的面积为6$\sqrt{3}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知可得3sinC=8sinA，由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，进而可求sinA的值．
（2）利用三角形的面积公式及已知可求a，c，利用余弦定理即可解得b的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵3c=8a．
∴由正弦定理可得：3sinC=8sinA，
∵cosC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sinC=$\frac{1}{3}$，
∴sinA=$\frac{1}{8}$…5分
（2）∵B=$\frac{π}{3}$，且△ABC的面积为6$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}a×\frac{8}{3}$a×sin$\frac{π}{3}$，
∴a=3，c=8，…8分
∴由余弦定理可得：b=$\sqrt{{8}^{2}+{3}^{2}-2×8×3×\frac{1}{2}}$=7…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想的应用，属于基础题．