Question

15．如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，△PAB是边长为a的正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，已知点M是PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面AMC；
（Ⅱ）求直线BD与平面AMC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ABCD为菱形，OB=CD，OM∥PB，由直线PB不在平面AMC内，PB∥PCM；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求得平面AMC的法向量为$\overrightarrow{n}$，设直线BD与$\overrightarrow{n}$所成的角为θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}}{丨\overrightarrow{n}丨•丨\overrightarrow{PB}丨}$=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$，即可求得直线BD与平面AMC所成角的正弦值．

解答 解：证明：（Ⅰ）连结BD交AC于O，连接OM，
由ABCD为菱形，OB=CD，
∴OM∥PB，…（2分）
由直线PB不在平面AMC内，
OM?平面AMC，…（3分）
∴PB∥PCM．…（4分）
（Ⅱ）取AB的中点N，连接PN，ND，则∠AND=90°，

分别以NB，ND，NP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，…（6分）
则B（$\frac{a}{2}$，0，0），C（a，$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，0），A（-$\frac{a}{2}$，0，0），C（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，0），P（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}a$），M（0，$\frac{\sqrt{3}}{4}a$，$\frac{\sqrt{3}}{4}a$），
则$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{3}{2}a$，$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，0），$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}a$，$\frac{\sqrt{3}}{4}a$），…（7分）
设平面AMC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}ax+\frac{\sqrt{3}}{2}ay=0}\\{\frac{a}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{4}ay+\frac{\sqrt{3}}{4}az=0}\end{array}\right.$，…（8分）
令y=$\sqrt{3}$，则x=-1，z=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即$\overrightarrow{n}$=（-1，$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），…（10分）
又$\overrightarrow{BD}$=（-$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，0），
设直线BD与$\overrightarrow{n}$所成的角为θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}}{丨\overrightarrow{n}丨•丨\overrightarrow{PB}丨}$=$\frac{2\sqrt{39}}{13}$，
故直线BD与平面AMC所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{39}}{13}$．…（12分）

点评 本题考查了线面平行的判定，空间向量的应用与二面角的计算，考查计算能力，属于中档题．