Question

10．已知函数f（x）=x²e^x．
（1）求f（x）在（-∞，0）上的最大值；
（2）若函数f（x）在（-1，+∞）上的最小值为m，当x＞0时，试比较$m-\frac{1}{2}$与lnx-2x+1的大小．

Answer 1

分析 （1）先求导，根据导数和函数的最值得关系即可求出，
（2）根据函数的单调性和最值得关系可求出m的值，再构造函数g（x）=lnx-2x+1，利用导数求出函数的最大值，即可比较大小．

解答 解：（1）f'（x）=（x²+2x）e^x，
∵当x＜-2时，f'（x）＞0，f（x）递增；
当-2＜x＜0时，f'（x）＜0；f（x）递减，
∴f（x）在（-∞，0）上的最大值为$f（{-2}）=\frac{4}{e^2}$．
（2）∵当-1＜x＜0时，f'（x）＜0，f（x）递减，
当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）递增，
∴f（x）在（-1，+∞）上的最小值为f（0）=0，
∴m=0．
设g（x）=lnx-2x+1，
则g′（x）=$\frac{1}{x}$-2=$\frac{1-2x}{x}$，
当g′（x）＞0时，即0＜x＜$\frac{1}{2}$，函数g（x）单调递增，
当g′（x）＜0时，即x＞$\frac{1}{2}$，函数g（x）单调递减，
∴g（x）_max=g（$\frac{1}{2}$）=ln$\frac{1}{2}$-2×$\frac{1}{2}$+1=ln$\frac{1}{2}$=-ln2＜-ln$\sqrt{e}$=-$\frac{1}{2}$，
∵m-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$
∴$m-\frac{1}{2}$＞lnx-2x+1

点评 本题考查了导数和函数的最值得关系，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．