Question

已知函数f（x）=

1

2

x²+lnx，求证：当x＞1时，f（x）＜

2

3

x³．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：设g（x）=

2

3

x³-f（x）=

2

3

x³-

1

2

x²-lnx，则g′（x）=2x²-x-

1

x

，利用导数性质能证明当x＞1时，

1

2

x²+lnx＜

2

3

x³．

解答： 证明：设g（x）=

2

3

x³-f（x）=

2

3

x³-

1

2

x²-lnx，
∴g′（x）=2x²-x-

1

x

，
∵当x＞1时，g′（x）=

(x-1)(2x2+x+1)

x

＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，
∴g（x）＞g（1）=

1

6

＞0，
∴当x＞1时，

1

2

x²+lnx＜

2

3

x³．

点评：本题考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用．