Question

已知函数f（x）=3x²+a，g（x）=2ax+1，a∈R
（1）证明：方程f（x）=g（x）恒有两个不相等的实数根；
（2）若函数f（x）在（0，2）上无零点，请你探究函数y=|g（x）|在（0，2）上的单调性；
（3）设F（x）=f（x）-g（x），若对任意的x∈（0，1），恒有：-1＜F（x）＜1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：

分析：（1）由f（x）=g（x），利用根的判别式证明方程f（x）=g（x）恒有两个不相等的实数根．
（2）若函数f（x）=3x²+a在（0，2）上无零点，则a≥0或a≤-

1

2

，由此分类讨论，能求出函数y=|g（x）|在（0，2）上的单调性．
（3）F（x）=f（x）-g（x）=3x²-2ax+a-1，此抛物线的开口向上，对称轴方程为x=

a

3

，由此进行分类讨论，能求出实数a的取值范围．

解答： （1）证明：∵f（x）=3x²+a，g（x）=2ax+1，
由f（x）=g（x），得3x²-2ax+a-1=0，
∴△=4a²-12（a-1）=4a²-12a+12
=4(a2-3a+

9

4

)+3
=4（a-

3

2

）²+3＞0，
∴f（x）=g（x）恒有两个不等的实数解．
（2）解：若函数f（x）=3x²+a在（0，2）上无零点，则a≥0或a≤-

1

2

，
当a≥0 时，函数y=|g（x）|=|2ax+1|=2a|x+

1

2a

|在（0，2）上的单调递增，
当a≤-

1

2

时，函数y=|g（x）|=|2ax+1|=-2a|x+

1

2a

|在（0，-

1

2a

）上的单调递减，
在（-

1

2a

，2）上的单调递增． 
（3）解：F（x）=f（x）-g（x）=3x²-2ax+a-1，
此抛物线的开口向上，对称轴方程为x=

a

3

，
①当

a

3

≤0时，要使F（x）在（0，1）内满足：-1＜F（x）＜1，
由函数图象知：

F(0)≥-1 F(1)≤1

，即

a-1≥-1 3-2a+a-1≤1

，
∴

a≥0 a≥1

，∴a≥1，∵

a

3

≤0，∴a不存在．
②当a＜

a

3

≤

1

2

时，要使F（x）在（0，1）内满足：-1＜F（x）＜1，
由函数图象知：

12(a-1)-4a2 12 ＞-1 F(0)≤1

，解得1≤a＜3，
而0＜

a

3

≤

1

2

，∴1≤a≤

3

2

．
③由

1

2

＜

a

3

≤1时，要使F（x）在（0，1）内满足：-1＜F（x）＜1，
由函数图象知：

12(a-1)-4a2 12 ＞-1 F(0)≤1

，解得0＜a≤2，
而

1

2

＜

a

3

≤1，∴

3

2

＜a≤2．
④当

a

3

＞1时，要使

F(0)≤1 F(1)≥-1

，∴

a≥2 a≤3

，解得2≤a≤3，
而

a

3

＞1，∴a不存在，
综上所述，实数a的取值范围是[1，2]．

点评：本题考查函数有两个不等实数根的证明，考查函数单调性的讨论，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．