Question

已知函数f（x）=mx-

m-1

x

-lnx，m∈R，函数g（x）=

1

cosθ•x

+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈[0，

π

2

）．
（1）求θ的取值范围；c
（2）若h（x）=f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；
（3）若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得h（x₀）＞

2e

x0

成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由题意g′(x)=-

1

cosθ•x2

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，由此利用导数性质能求出θ的取值范围．（2）由（1）得h（x）=mx-

m

x

-2lnx，从而h′(x)=

mx2-2x+m

x2

，由此利用导数性质能求出m的取值范围．（3）构造函数F（x）=mx-

m

x

-2lnx-

2e

x

．由此利用导数性质能求出m的取值范围．

解答： 解：（1）由题意g′(x)=-

1

cosθ•x2

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，
即

cosθ•x-x

cosθ•x2

≥0，
∵θ∈[0，

π

2

)，故cosθ•x-1≥0在[1，+∞）上恒成立，
只须cosθ•1-1≥0，即cosθ≥1，得θ=0，
∴θ的取值范围是{0}．
（2）由（1）得h（x）=mx-

m

x

-2lnx，
∴h′(x)=

mx2-2x+m

x2

，
∵h（x）在[1，+∞）上为单调函数，
∴mx²-2x+m≥0，或者mx²-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立，
mx²-2x+m≥0等价于m（1+x²）≥2x，即m≥

2x

1+x2

，
而

2x

1+x2

=

2

x+ 1 x

•{

2

x+ 1 x

}_max=1，解得m≥1，
∴mx²-2x+m≤0等价于m（1+x²）≤2x，
即m≤

2x

1+x2

在[1，+∞）恒成立，
而

2x

1+x2

∈(0，1]，∴m≤0，
综上所述，m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．
（3）构造函数F（x）=mx-

m

x

-2lnx-

2e

x

．
当m≤0时，x∈[1，e]，mx-

m

x

≤0，-2lnx-

2e

x

＜0，
∴在[1，e]上不存在一个x₀，
使得h（x₀）＞

2e

x0

成立．…9分
当m＞0时，F'（x）=m+

m

x2

-

2

x

+

2e

x2

=

mx2-2x+m+2e

x2

．
∵x∈[1，e]，所以2e-2x≥0，mx²+m＞0，∴F′（x）＞0在[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上单调递增，F（x）_max=me-

4

e

-4，只要me-

4

e

-4＞0，
解得m＞

4e

e2-1

．
故m的取值范围是(

4e

e2-1

，+∞)．…14分．

点评：本题考查函数的单调区间的应用，考查实数取值范围的求法，解题时要注意导数性质、构造法和分类讨论思想的合理运用．