题目内容
设M是由满足下列条件的函数f（x）（x∈R）构成的集合：①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．
（Ⅰ）判断函数f（x）=
+
-
是否是集合M中的元素，并说明理由；
（Ⅱ）若函数f（x）是集合M中的一个元素，x0是方程f（x）-x=0的实数根，求证：对于定义域中的任意两个实数x1，x2，当|x0-x1|＜1且|x2-x0|＜1时，不等式|f（x2）-f（x1）|＜2成立．
（Ⅰ）判断函数f（x）=
| x |
| 2 |
| cos |
| 8 |
| 1 |
| 8 |
（Ⅱ）若函数f（x）是集合M中的一个元素，x0是方程f（x）-x=0的实数根，求证：对于定义域中的任意两个实数x1，x2，当|x0-x1|＜1且|x2-x0|＜1时，不等式|f（x2）-f（x1）|＜2成立．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性
专题：综合题,导数的综合应用
分析：（Ⅰ）利用方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1，进行验证，即可得出结论；
（Ⅱ）构造f（x）-x，研究函数f（x）-x的单调性，从而得到|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|，再利用绝对值不等式即可证得．
（Ⅱ）构造f（x）-x，研究函数f（x）-x的单调性，从而得到|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|，再利用绝对值不等式即可证得．
解答：
解：（I）因为f′（x）=
-
，所以f′（x）∈[
，
]，满足条件0＜f′（x）＜1，
又因为当x=0时，f（
）-
＞0，f（π）-π＜0，
所以方程f（x）-x=0有实数根．
所以函数f（x）=
+
-
是集合M中的元素．
（II）不妨设x1＜x2，因为f'（x）＞0，
所以f（x）为增函数，
所以f（x1）＜f（x2），
又因为f'（x）-1＜0，
所以函数f（x）-x为减函数，
所以f（x1）-x1＞f（x2）-x2，
所以0＜f（x2）-f（x1）＜x2-x1，
即|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|，
所以|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|=|x2-x0-（x1-x0）|≤|x2-x0|+|x1-x0|＜2．
| 1 |
| 2 |
| sinx |
| 8 |
| 3 |
| 8 |
| 5 |
| 8 |
又因为当x=0时，f（
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
所以方程f（x）-x=0有实数根．
所以函数f（x）=
| x |
| 2 |
| cos |
| 8 |
| 1 |
| 8 |
（II）不妨设x1＜x2，因为f'（x）＞0，
所以f（x）为增函数，
所以f（x1）＜f（x2），
又因为f'（x）-1＜0，
所以函数f（x）-x为减函数，
所以f（x1）-x1＞f（x2）-x2，
所以0＜f（x2）-f（x1）＜x2-x1，
即|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|，
所以|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|=|x2-x0-（x1-x0）|≤|x2-x0|+|x1-x0|＜2．
点评：本题考查了导数的运算，以及不等式的证明，是一道函数综合问题，有一定难度．
练习册系列答案
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函数y=f（x）的定义域为（a，b），y=f′（x）的图象如图，则函数y=f（x）在开区间（a，b）内取得极小值的点有（ ）| A、1个 | B、2个 | C、3个 | D、4个 |
若方程
-
=1表示双曲线，则实数k的取值范围是（ ）
| x2 |
| k-2 |
| y2 |
| 5-k |
| A、2＜k＜5 |
| B、k＞5 |
| C、k＜2或k＞5 |
| D、以上答案均不对 |