Question

设函数f（x）=（x-1）e^x-kx²（k∈R）．
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当k∈（

1

2

，1]时，求用k表示函数f（x）在（0，+∞）的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当k=1时，f′（x）=e^x+（x-1）e^x-2x=x（e^x-2）．令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=ln 2，列表讨论，能求出函数f（x）的单调区间．
（2）f′（x）=e^x+（x-1）e^x-2kx=x（e^x-2k），由此利用导数性质能求出函数f（x）在（0，+∞）的最小值．

解答： 解：（1）当k=1时，f（x）=（x-1）e^x-x²，
∴f′（x）=e^x+（x-1）e^x-2x=x（e^x-2）．
令f′（x）=0得x₁=0，x₂=ln 2．
列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，ln 2）	ln 2	（ln 2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

由表可知，函数f（x）的递减区间为（0，ln 2），递增区间为（-∞，0），（ln 2，+∞）．
（2）f′（x）=e^x+（x-1）e^x-2kx=x（e^x-2k），
∵

1

2

＜k≤1，∴1＜2k≤2，
由（1）可知f（x）在（0，ln 2k）上单调递减，
在（ln 2k，+∞）上单调递增．
∴f(x)min=f(ln2k)=2k•ln(2k)-2k-kln2(2k)．

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查函数的最值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．