Question

已知函数f(x)=

1

3

x

3

+a

x

2

+bx．
（1）若函数f（x）在区间[-1，1），（1，3]内各有一个极值点，当以a²-b取最大值时，求函数f（x）的表达式；
（2）若a=-1，在曲线y=f（x）上是否存在唯一的点P，使曲线在点P处的切线l与曲线只有一个公共点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）函数的极值点，即导函数的零点，导函数所对应方程的根，由求根公式得，转化求出a，b的值；
（2）设出切点，利用导数求出切线方程，由f（x）和切线方程构造新的函数g（x），说明x=x₀是函数g（x）的唯一零点就行，即是g′（x）的唯一极值点，且在两侧单调．

解答： 解：∵函数f（x）在区间[-1，1），（1，3]内各有一个极值点，
∴f′（x）=x²+2ax+b=0在[-1，1），（1，3]内分别有一个实根，
设两个实根为x₁，x₂（x₁＜x₂），则x₂-x₁=2

a2-b

，且0＜x₂-x₁≤4，于是
0＜2

a2-b

≤4，0＜a²-b≤4，且当x₁=-1，x₂=-3时等号成立，
故a²-b取得最大值是4，此时f（x）=

1

3

x3-x2-3x；
（2）假如存在点p（x₀，y₀）符合条件，
则由f′（x）=x²-2x+b知f（x）在点P处切线l的方程是
y-f（x₀）=f′（x₀）（x-x₀），即y=（x02-2x0+b）x-

2

3

x03+x 02
令g（x）=f（x）-[（x02-2x0+b）x-

2

3

x03+x 02]=

1

3

x3-x2-（x 02-2x₀）x+

2

3

x03-x 02，则g（x₀）=0
由题设知，g（x）=f（x）-[（x02-2x0+b）x-

2

3

x03+x 02]存在唯一零点x₀，且在x=x₀两边附近的函数值导号，
则x=x₀一定不是g（x）的极值点，又g′（x）=x2-2x-x02+2x0=（x-x₀）（x+x₀-2）．
若x₀≠2-x₀，则易知x=x₀，和x=2-x₀都是g（x）的极值点，不合题意；
若x₀=2-x₀，即x₀=1时，又g′（x）=x2-2x-x02+2x0=（x-x₀）（x+x₀-2）=（x-1）²≥0，
此时函数g（x）=

1

3

x3-x2-(x02-2x0)x+

2

3

x03-x02=

1

3

x3-x2+x-

1

3

=

1

3

(x-1)3单调递增，
当x＞1时，g（x）＞0；当x＜1时，g（x）＜0，故函数g（x）有唯一零点x=1，且在x=1两边附近的函数值异号，
故在曲线y=f（x）上存在唯一的点P（1，f（1）），使曲线在点P处的切线l与曲线只有一个公共点．

点评：本题考查了函数的极值，零点，构造函数，等价转换思想，属于难题．