Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B恰好是抛物线x²=4y的焦点，且离心率等于

2

2

，直线l与椭圆C交于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）椭圆C的右焦点F是否可以为△BMN的垂心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由x²=4y，可得p=2，进而得其焦点，设椭圆C的方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，由题意可得b，再根据离心率等于

2

2

，求出a，即可得出椭圆C的方程；
（Ⅱ）假设存在直线l，使得点F（1，0）是△BMN的垂心，可得直线BF的斜率，从而直线l的斜率为1．设直线的方程为y=x+m，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，再利用

NF

•

BM

=0，解得m的值即可．

解答： 解：（Ⅰ）抛物线x²=4y中p=2，焦点（1，0）．
设椭圆C的方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，由题意知b=1
又e=

c2 a2

=

a2-b2 a2

=

2

2

，即

1- 1 a2

=

2

2

，
∴a²=2，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1（4分）
（Ⅱ）假设存在直线l使得F（1，0）是△BMN的垂心，则直线BF的斜率为-1，
从而直线l的斜率为1．
可设直线l的方程为y=x+m，代入

x2

2

+y2=1，
并整理得3x²+4mx+2（m²-1）=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x1+x2=-

4

3

m，x1x2=

2(m2-1)

3

（6分）
∴

NF

•

BM

=(1-x2)x1-y2(y1-1)=x1+y2-x1x2-y1y2=x₁+x₂+m-x₁x₂-（x₁+m）（x₂+m）
=-2x1x2+(1-m)(x1+x2)+m-m2=-2×

2m2-2

3

+(1-m)(-

4m

3

)+m-m2=0，
解得m=1或m=-

4

3

．
当m=1时点B为直线l与椭圆的一个交点，不合题意；
当m=-

4

3

时，经检验知直线l与椭圆相交两点，且满足BF⊥MN符合题意；
综上得当且仅当直线l的方程为y=x-

4

3

时，椭圆C的右焦点F是可以为△BMN的垂心．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系．熟练掌握椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、垂心的性质、向量垂直与数量积的关系等是解题的关键．