Question

已知定义在R上的函数y=f（x），对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y），且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：对于x∈R，f（x）＞0恒成立；
（2）求证：y=f（x）在R上为增函数；
（3）若对于x∈R，f（2^x）•f[m•2^2x-（m+1）•2^x+2]＞1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先说明f（x）为什么不等于0，然后令x=y=

x

2

，代入可证出f（x）＞0恒成立；
（2）结合定义可以任取x₁＜x₂，结合（1）函数值恒为正，可以利用作商与1比较得到f（x₁）与f（x₂）的大小；
（3）先将给的式子进行化简，分离出m，转化为函数的最值问题．

解答： 解：（1）假设存在a，使得f（a）=0，则f（x+a）=f（a）•f（x）=0恒成立，与当x＞0时，f（x）＞1矛盾，
故对于任意的x，f（x）≠0，
再任取x∈R，令f（x+y）=f（x）•f（y）中的x=y=

x

2

，则f（x）=f2(

x

2

)＞0恒成立；
（2）任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，由f（x+y）=f（x）•f（y），得f（x₂）=f（x₁）f（x₂-x₁），
所以

f(x2)

f(x1)

=f(x2-x1)，因为当x＞0时，f（x）＞1，结合（1）的结论，
所以f（x₂）＞f（x₁）＞0，故函数在R上是增函数；
（3）令x=y=0代入f（x+y）=f（x）•f（y）得f²（0）=f（0），又因为f（0）≠0，所以f（0）=1．
而f（2^x）•f[m•2^2x-（m+1）•2^x+2]=f（2^x+m•2^2x-（m+1）•2^x+2）＞1=f（0），
结合（2）的结论得2^x+m•2^2x-（m+1）•2^x+2＞0恒成立，即
m•2^2x-m2^x+2＞0恒成立，整理得令t=2^x＞0，则问题转化为mt²-mt+2＞0（t＞0）（t＞0）恒成立，
当m=0时，解得2＞0恒成立，符合题意，
当m＞0时，原式化为m(t-

1

2

)2-

m

4

+2＞0恒成立，只需t=

1

2

时的最小值2-

m

4

＞0即可，解得0＜m＜8．
当m＜0时，结合二次函数的图象可知，不符合题意．
综上m的范围是0≤m＜8．

点评：此类抽象函数在处理的过程中要充分结合已知条件进行赋值，有一定的技巧性，第三问则充分利用了前两问的得出的函数性质构造了关于x的不等式恒成立问题．