Question

如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB|=

5

2

|BF|．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若斜率为2的直线l过点（0，2），且l交椭圆C于P、Q两点，OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用|AB|=

5

2

|BF|，求出a，c的关系，即可求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）直线l的方程为y-2=2（x-0），即2x-y+2=0与椭圆C：

x2

4b2

+

y2

b2

=1联立，OP⊥OQ，可得

OP

•

OQ

=0，
利用韦达定理，即可求出椭圆C的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由已知|AB|=

5

2

|BF|，
即

a2+b2

=

5

2

a，4a²+4b²=5a²，4a²+4（a²-c²）=5a²，∴e=

c

a

=

3

2

．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a²=4b²，∴椭圆C：

x2

4b2

+

y2

b2

=1．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直线l的方程为y-2=2（x-0），即2x-y+2=0．
由

2x-y+2=0 x2 4b2 + y2 b2 =1

⇒x2+4(2x+2)2-4b2=0，
即17x²+32x+16-4b²=0．
△=322+16×17(b2-4)＞0?b＞

2 17

17

．
x1+x2=-

32

17

，x1x2=

16-4b2

17

．…（9分）
∵OP⊥OQ，∴

OP

•

OQ

=0，
即x₁x₂+y₁y₂=0，x₁x₂+（2x₁+2）（2x₂+2）=0，5x₁x₂+4（x₁+x₂）+4=0．
从而

5(16-4b2)

17

-

128

17

+4=0，解得b=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．…（13分）

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．