Question

已知函数f（x）=4sinx•sin²（

π

4

+

x

2

）+2cos²x+1+a，x∈R是一个奇函数．
（1）求a的值和使f（2x）≥-

3

成立的x的取值集合；
（2）设|θ|＜

π

2

，若对x取一切实数，不等式4+f（x+θ）f（x-θ）＞2f（x）都成立，求θ的取值范围．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角不等式,二倍角的余弦

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角公式对函数解析式化简整理，利用函数的奇偶性求得a．
（2）利用第一问中函数解析式对不等式等价转化，利用二次函数的性质求得．

解答： 解：（1）f（x）=4sinx•sin²（

π

4

+

x

2

）+2cos²x+1+a
=4sinx•

1-cos( π 2 +x)

2

+2cos²x+1+a
=2sinx（1+sinx）+2cos²x+1+a
=2sinx+2sin²x+2cos²x+1+a
=2sinx+3+a，
∵函数f（x）为奇函数，
∴a+3=0，即a=-3，f（x）=2sinx，
f（2x）=2sin2x≥-

3

，
即sin2x≥-

3

2

，
∴2kπ+

4π

3

≥2x≥2kπ-

π

3

，k∈Z
kπ-

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
即此时x的集合为[kπ-

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）．
（2）∵4+f（x+θ）f（x-θ）＞2f（x）
即4+4sin（x+θ）sin（x-θ）＞4sinx，当|θ|＜

π

2

时恒成立，
即4-2（cos2x-cos2θ）＞4sinx，
整理得cos2θ＞-2sin²x+2sinx-1，
∵f（x）=-2sin²x+2sinx-1的最大值为f（

1

2

）=-

1

2

+1-1=-

1

2

，
∴要使不等式成立需cos2θ＞-

1

2

，
-

2π

3

＜2θ＜

2π

3

，即-

π

3

＜θ＜

π

3

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质，二次函数性质的应用．考查了学生转化与化归思想的运用．