Question

如图，在Rt△ABC中，∠=90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．
（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）若∠ABC=60°，AE=6，求EC的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,圆的切线的判定定理的证明

专题：立体几何

分析：（1）设线段DB的中点为O，连结EO，由已知得OB=OE，∠OEB=∠OBE，∠CBE=∠OBE，∠OEB=∠CBE，OE∥BC，∠AEO=90°，由此能证明AC是△BDE的外切圆的切线．
（2）由C是圆O的切线，得∠OEA=90°，∠ABC=60°，OE∥BC，从而∠AOE=60°，OE=2

3

，由此能求出EC的长．

解答： （1）证明：设线段DB的中点为O，连结EO，
∵DE⊥EB，∴点O是圆心，∴OB=OE，
∴∠OEB=∠OBE，
又BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，
∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，
又∵∠C=90°，∴∠AEO=90°，
∴AC是△BDE的外切圆的切线．
（2）解：由（1）知C是圆O的切线，
∠OEA=90°，∠ABC=60°，OE∥BC，
∴∠AOE=60°，∵AE=6，∴OE=2

3

，
△OBE中，∠OEB=∠OBE=30°，
∴BE=

3

OB=6，Rt△BEC中，∠OBE=30°，
∴CE=

1

2

BE=3．

点评：本题考查三角形外接圆的切线的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．