Question

如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，AD=

3

，点E，F分别是BC，PB的中点．
（Ⅰ）求三棱锥P-ADE的体积；
（Ⅱ）求证：AF⊥平面PBC；
（Ⅲ）若点M为线段AD中点，求证：PM∥平面AEF．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）PA为三棱锥P-ADE的高，代人三棱锥体积公式计算；（Ⅱ）线面垂直的判定，BC⊥AF，PB⊥AF，∴AF⊥平面PBC；（Ⅲ）线面平行的判定，PM∥FN，∵PM?面AEF，NF?面AEF，∴PM∥平面AEF．

解答：  （Ⅰ）解：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA为三棱锥P-ADE的高，…2
S△ADE=

1

2

×

3

×1=

3

2

，
∴V_P-ADE=

1

3

×

3

2

×1=

3

6

，…4
（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，BC?面ABCD，∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC，AB∩PA=A，∴BC⊥面PAB，
∴PM∥FN∵AF?面PAB，∴BC⊥AF，…6
∵PA=AB，F是PB的中点，
∴PB⊥AF，又BC∩PB=B，
∴AF⊥平面PBC；…8
（Ⅲ）证明：连接BM交AE于N，连接PM、FN，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，且AD=BC，
又M、E分别为AD、BC的中点，∴四边形AMEB是平行四边形，
∴N为BM中点，又∵F是PB的中点，
∴PM∥FN，∵PM?面AEF，NF?面AEF，
∴PM∥平面AEF．

点评：本题考查棱锥的体积，线面垂直，线面平行，掌握空间线面位置关系的判定及性质是关键．