Question

已知k为给定正整数，数列{a_n}满足a₁=3，an+1=(3

2

2k-1

-1)Sn+3  (n∈Z+)，其中S_n是数列{a_n}的前n项和，令b_n=

1

n

log3(a1a2…an)  (n∈Z+)．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）记T_k=

2k

i=1

|bi-

3

2

|，若T_k∈Z⁺，求k的所有可能值．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得{a_n}是首项为3，公比为3

2

2k-1

的等比数列，由此能求出an=3

2n+2k-3

2k-1

（n∈Z⁺），b_n=

1

n

log3(a1a2…an)  (n∈Z+)=

1

n

log33(

2k-1

2k-1

+

2k+1

2k-1

+…+

2k+2n-3

2k-1

)=

1

n(2k-1)

[n(2k-3)+n(n+1)]，由此能求出bn=1+

n-1

2k-1

（n∈Z⁺）．
（2）由已知得bn-

3

2

=

n-(k+ 1 2 )

2k-1

，故Tk=

2k

i=1

|bi-

3

2

|=

k

i=1

(

3

2

-bi)+

2k

i=k+1

(bi-

3

2

)=

k2

2k-1

．由此能求出k的所有可能值只有1．

解答： 解：（1）∵a₁=3，an+1=(3

2

2k-1

-1)Sn+3  (n∈Z+)，
∴n≥2时，a_n=（3

2

2k-1

-1）S_n-1+3，
∴a_n+1-a_n=(3

2

2k-1

-1)an，
∴an+1=3

2

5-2k-1

a_n，
∴{a_n}是首项为3，公比为3

2

2k-1

的等比数列，
∴an=3

2n+2k-3

2k-1

（n∈Z⁺），
b_n=

1

n

log3(a1a2…an)  (n∈Z+)=

1

n

log33(

2k-1

2k-1

+

2k+1

2k-1

+…+

2k+2n-3

2k-1

)
=

1

n

(

2k-1

2k-1

+

2k+1

2k-1

+…+

2k+2n-3

2k-1

)
=

1

n(2k-1)

[n(2k-3)+n(n+1)]
=1+

n-1

2k-1

．
∴bn=1+

n-1

2k-1

（n∈Z⁺）．
（2）bn-

3

2

=

n-(k+ 1 2 )

2k-1

，
∴当n≤k时，bn-

3

2

＜0，
当n≥k+1时，bn-

3

2

＞0，
故Tk=

2k

i=1

|bi-

3

2

|=

k

i=1

(

3

2

-bi)+

2k

i=k+1

(bi-

3

2

)=

k2

2k-1

．
∵Tk∈Z+，设k²=t（2k-1）（t∈Z⁺），即k²-2tk+t=0有正整数解，
∴△=4t²-4t=s²（s∈Z⁺），
∴（2t-1-s）（2t-1+s）=1，
∴t=1，故k的所有可能值只有1．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的k的所有可能值的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．