Question

已知S_n=

3

2

（a_n-1），其中{a_n}均有前n项和S_n，{b_n}满足b_n=

1

4

b_n-1-

3

4

（n≥2），b₁=3．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=a_nlog₂（b_n+1）求{c_n}前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n=

3

2

（a_n-1），可得当n≥2时，S_n-1=

3

2

(an-1-1)，a_n=S_n-S_n-1=

3

2

(an-an-1)，化为a_n=3a_n-1．利用等比数列的通项公式可得a_n．{b_n}满足b_n=

1

4

b_n-1-

3

4

（n≥2），b₁=3．变形为bn+1=

1

4

(bn-1+1)，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）令c_n=a_nlog₂（b_n+1）=3ⁿ×log2(42-n-1+1)=（2-n）3ⁿ．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵S_n=

3

2

（a_n-1），∴当n≥2时，S_n-1=

3

2

(an-1-1)，
∴a_n=S_n-S_n-1=

3

2

(an-an-1)，化为a_n=3a_n-1．
当n=1时，a₁=S₁=

3

2

(a1-1)，解得a₁=3．
∴数列{a_n}是等比数列，
∴a_n=3×3^n-1=3ⁿ．
∵{b_n}满足b_n=

1

4

b_n-1-

3

4

（n≥2），b₁=3．
∴bn+1=

1

4

(bn-1+1)，
∴数列{b_n+1}为等比数列，首项b₁+1=4，
∴b_n+1=4×(

1

4

)n-1，
∴b_n=4^2-n-1．
（2）令c_n=a_nlog₂（b_n+1）=3ⁿ×log2(42-n-1+1)=（2-n）3ⁿ．
∴{c_n}前n项和T_n=3+0-3³-2×3⁴-…-（n-2）×3ⁿ，
∴3T_n=3²+0-3⁴-…-（n-3）×3ⁿ-（n-2）×3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=3-3²-3³-…-3ⁿ+（n-2）×3ⁿ⁺¹=6-

3×(3n-1)

3-1

+（n-2）×3ⁿ⁺¹=

15+(2n-5)×3n+1

2

，
∴T_n=

-15-(2n-5)×3n+1

4

．

点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．