题目内容

在△ABC中，AC=
2
，AB=
3
+1，∠BAC=45°，
BP
=（1-λ）
BA
+λ
BC
（λ＞0），AP=
2
2

（1）求
BA
•
AC
的值；
（2）求实数λ的值；
（3）若
BQ
=
1
4
BC
，AQ与BP交于点M，
AM
=μ
.
MQ
，求实数μ的值．
考点：平面向量数量积的运算,平面向量的基本定理及其意义
专题：计算题,平面向量及应用
分析：（1）运用向量的数量积的定义，即可得到；
（2）向量共线的基本定理，化简即可得到P为中点，进而得到所求值；
（3）运用向量共线的定理和三点共线的向量表示，设
BM
=t
MP
，得到
AM
的两种形式，再由
AB
，
AC
不共线，得到两个方程，解得即可得到所求值．
解答： 解：（1）
BA
•
AC
=-|
AB
|•|
AC
|•cos45°=-（
3
+1）×
2
×
2
2

=-
3
-1；
（2）由于
BP
=（1-λ）
BA
+λ
BC
（λ＞0），
则
BP
-
BA
=λ(
BC
-
BA
)，即有
AP
=λ
AC
，
即有P在线段AC上，
由于|
AP
|=
2
2
，即有P为中点，则λ=
1
2
；
（3）在△ABQ中，
AM
=μ
.
MQ
，
则有
AM
=
μ
1+μ
AQ
=
μ
1+μ
•
AB
+
1
3
AC
1+
1
3

=
μ
4(1+μ)
•（3
AB
+
AC
），
设
BM
=t
MP
，
则有
AM
=
AB
+t
AP
1+t
=
AB
+
1
2
t
AC
1+t

由于
AB
，
AC
不共线，
则有
3μ
4(1+μ)
=
1
1+t
且
μ
4(1+μ)
=
t
2(1+t)
，
解得，μ=4．
点评：本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查平面向量基本定理，以及向量的共线的表示，考查运算能力，属于中档题和易错题．
练习册系列答案
相关题目
从集合{0，1，2，3，4}中随机取出两个不同的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标，已知圆C：x2+y2=12．
（1）求点P在圆C内的概率；
（2）若过在圆C内的点P的直线l与圆C分别交于点M，N，当原点到直线l的距离最大时，在圆C内随机撒一粒豆子，求豆子落在△MON（O为原点）内的概率．
下列结论正确的是
 
（写出正确结论的序号）
①直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，无论m为何值时，l恒过定点（3，1）
②若a1，a2，…，a20这20个数据的平均数为
.
x
，方差为0.20，则a1，a2，…，a20，
.
x
这21个数据的方差为0.2．
③某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为-3．
④过直线l1：x+2=0与l2：4x+3y+5=0的交点，且与点A（-1，-2）的距离等于1的直线l的方程为3x+y+5=0．
⑤若直线y=x+k和半圆y=
1-x2
只有一个交点，则k的取值范围为-1≤k＜1．
函数f（x）=ax+
b
x-1
-a（a∈R，a≠0）在x=3处的切线方程与直线（2a-1）x-2y+3=0平行且f（3）=3，若方程f（x）=t（x2-2x+3）|x|有三个解，则实数t的取值范围为
 
．
已知点P（1，2）和圆C：x2+y2+kx+2y+k2=0，过P作C的切线有两条，则k的取值范围是（　　）
A、k∈R
B、k＜
2
3
3
C、-
2
3
3
＜k＜0
D、-
2
3
3
＜k＜
2
3
3
已知点D为等腰直角三角形ABC斜边AB的中点，则下列等式中不恒成立的是（　　）
A、
CD
=
CA
|
CA
|
+
CB
|
CB
|
B、
AC
2=
AC
•
AB
C、
BC
2=
BC
•
BA
D、(
CA
+
CB
)•(
CA
-
CB
)=0
已知函数f（x）满足：f（p+q）=f（p）f（q），f（1）=3，则
f2(1)+f(2)
f(1)
+
f2(2)+f(4)
f(3)
+
f2(3)+f(6)
f(5)
+
f2(4)+f(8)
f(7)
+
f2(5)+f(10)
f(9)
的值为
 
．
函数f（x）=x2-2x在区间[2，4]上的最小值为（　　）
A、-1B、0C、3D、8
已知函数f（x）=
(x+1)(x+a)
x2
为偶函数．
（1）求实数a的值；
（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{-1，1，2}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5-
1
4
，判断λ与E的关系；
（3）令h（x）=x2f（x）+ax+b，若集合A={x|x=h（x）}，集合B={x|x=h[h（x）]}，若A=∅，求集合B．

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